miércoles, 10 de junio de 2020

¿Qué es el Álgebra Booleana?

 Descargar fondos de pantalla código binario, 4k, la oscuridad ...
    
 Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero Sobre el álgebra, podemos decir que es la rama de las matemáticas que apela a la generalización de las operaciones aritméticas utilizando signos, letras y números. Estos elementos se encargan de la representación de entidades matemáticas mediante el simbolismo, se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.
    El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos en electrónica digital. Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

    También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

    La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

martes, 9 de junio de 2020

Leyes e Identidades del Álgebra Booleana


Leyes e Identidades del Álgebra Booleana

     Al formular expresiones matemáticas para circuitos lógicos es importante tener conocimiento del álgebra booleana, que define las reglas para expresar y simplificar enunciados lógicos binarios. Una barra sobre un símbolo indica la operación booleana NOT, que corresponde a la inversión de una señal.

 

      





sábado, 6 de junio de 2020

Simplificación de Funciones Booleanas


Es aquel que utiliza las propiedades y teoremas del álgebra de boole para realizar las simplificaciones. Es decir no es un método mecánico sino que hay que basarse en la experiencia y el conocimiento del álgebra de boole.


                                    


Si vemos la siguiente ecuación:

 

(4/2)x-2=2

 

Lo primero que hacemos es simplificarla, aplicando primero que:

 

(4/2)=2

 

Quedando:

 

2x-2=2

 

Que todavía puede ser más simplificada, dividiendo entre 2:

 

X-1=1

 

Y una vez simplificado, es mucho más fácil trabajar.

 

Cuando estamos diseñando circuitos digitales, utilizaremos funciones booleanas para describirlos. Y antes de implementarlos, es decir, antes de convertir las ecuaciones a componentes electrónicos (puertas lógicas) tenemos que simplificar al máximo.

 

Una de las misiones de todos aquellos que trabajan en el mundo de la electrónica es optimizar los circuitos electrónicos. No basta con realizar un circuito, sino que hay que hacerlo con el menor número posible de componentes electrónicos. Y esto es lo que conseguimos si trabajamos con funciones simplificadas.

 

Las funciones booleanas se tienen que simplificar al máximo, para diseñar los circuitos con el menor número de componentes electrónicos, y esta simplificación la podemos realizar de dos maneras diferentes:

 

·         Utilizando las propiedades y teoremas del algebra de boole. Se denomina método analítico de simplificación de funciones. Hay que manejar muy bien estas propiedades para poder eliminar la mayor cantidad de términos y variables.

 

·         Utilizando el método de karnaugh. Es un método gráfico que si lo aplicamos bien, nos garantiza que obtendremos la función más simplificada posible, a partir de una tabla de verdad.

 


viernes, 5 de junio de 2020

Teoremas y Postulados del Algebra de Boole. Postulados de Morgan


                                 Teoremas  y Postulados del Álgebra de Boole

 Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.

 

 Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.

 

1.    Ley asociativa.

 

 El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que x*y*z = x*(y*z) para toda x, y pertenecientes a S.

 

2.    Ley conmutativa.

 

Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:

x*y = y*x para toda x,y pertenecientes a S.

 

3.    Elemento identidad.

 

El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un

e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.

 

4.    Inversa.

 

El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.

 

5.    Ley distributiva.

 

Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.).


                                         Postulados de Morgan

1.

a) Cierre con respecto al operador (+)

b) Cierre con respecto al operador (.)

 

2.

a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x

 

b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x

 

3.

a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x

b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x

 

4.

a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)

b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)

 

5.

Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:

 

a) x+x’ = 1

b) x’ = 0

 

6. Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y.

Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria en la sig:

 

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) =

(x+y).(x+z), la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra

ordinaria.

 

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división.

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra

en el álgebra ordinaria.

e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Siempre que: x*(y . z) = (x*y) . (x*z)


Expresiones de Conmutación

Expresiones de Conmutación

 

     Una función booleana o de conmutación es una expresión algebraica de variables booleanas con las operaciones +, * y complemento. La prioridad de los operadores, en caso de haber varios, es: paréntesis, complementos, productos y sumas.

 

 

    Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos de conmutación. Un conmutador es un dispositivo con dos estados que son cerrados y abierto y que se denotarán respectivamente 1 y 0.

 

 

     En esta forma, un álgebra de circuitos de conmutación no es más que un álgebra booleana con dos elementos a saber: 0 y 1.

 

     Si dos conmutadores operan en tal forma que se abren y se cierran simultáneamente, se designarán con la misma letra. Si operan en tal forma que cuando uno está abierto el otro está cerrado, y viceversa entonces se designará uno de ellos con una letra y el otro por su complemento.

 

     Un circuito consistente de los conmutadores x e y conectados en paralelo, se designará por x + y, si los conmutadores están conectados en serie se designarán por xy. Para cada circuito serie paralelo corresponderá una expresión algebraica y viceversa, tales expresiones involucran las operaciones (+), (.), (´).

 

    Gráficamente ocurre entonces lo siguiente:




    Dos expresiones booleanas serán iguales sí sólo sí representan circuitos equivalentes. Se tendrán en cuenta sólo los factores que determinan si un circuito está abierto o cerrado. Se desecharán problemas referentes a corriente, voltaje, resistencia, etc.


miércoles, 3 de junio de 2020

Compuertas Lógicas

Compuertas Lógicas

 

     Las Compuertas Lógicas son circuitos electrónicos conformados internamente por transistores que se encuentran con arreglos especiales con los que otorgan señales de voltaje como resultado o una salida de forma booleana, están obtenidos por operaciones lógicas binarias. a partir de interruptores booleanos cumplen una condición particular. Son esencialmente Circuitos de conmutación integrados en un Chip. Las compuertas son bloques del Hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica.

 

     La Lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas Lógicas Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular.


martes, 2 de junio de 2020

Minimización de Funciones

Minimización de Funciones

 

      Es la simplificación de una función, obteniendo una expresión que contenga menos términos o menos variables que la función original.  Esto se refleja en la obtención de circuito más económico por tener un menor número de compuertas.

 

     La simplificación de estas funciones puede realizarse con el uso de álgebra de Boole pero no es un método sencillo de ejecutar. La manipulación de funciones booleana puede llegar a ser muy compleja y muchas veces es necesario un ingenio considerable y quizás mucha suerte.

 

     La minimización con álgebra de Boole  presenta dos limitaciones importantes:

·         No existe un algoritmo que nos garantice encontrar la forma más simple de la expresión.

 

·         Dado un determinado resultado intermedio no hay forma de saber si realmente hemos llegado a la forma mínima.

 

·         Para efecto de este curso cuando nos referimos a una expresión mínima, nos estamos refiriendo  a la expresión más simple de dos niveles.