Teoremas y Postulados del Álgebra de Boole
Para un conjunto s se dice que es cerrado para
un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica
una regla para obtener un elemento único de S.
Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado
con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética,
ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a +
b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al
operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1
y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.
1.
Ley asociativa.
El operador binario (*) es un conjunto S es
asociativo siempre que x*y*z = x*(y*z) para toda x, y pertenecientes a S.
2.
Ley conmutativa.
Un operador
binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:
x*y = y*x para
toda x,y pertenecientes a S.
3.
Elemento identidad.
El conjunto S
tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un
e
perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.
4.
Inversa.
El conjunto S
tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada
x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.
5.
Ley distributiva.
Si el operador
(*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo
sobre (.).
Postulados de Morgan
1.
a) Cierre con
respecto al operador (+)
b) Cierre con
respecto al operador (.)
2.
a) Un elemento
identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x
b) Un elemento
identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x
3.
a) Conmutativo
con respecto al operador (+) : x+y = y+x
b) Conmutativo
con respecto al operador (.) : x*y =y*x
4.
a) El operador
(.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)
b) El operador
(+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)
5.
Para cada
elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a
B denominado complemento de x tal que:
a) x+x’ = 1
b) x’ = 0
6. Existen
cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y.
Por lo tanto
tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra
ordinaria en la sig:
a) Los
postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es
valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)
b) La ley
distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) =
(x+y).(x+z),
la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra
ordinaria.
c) El álgebra
booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay
operaciones de sustracciones o división.
d) El
postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra
en el álgebra
ordinaria.
e) En el
algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra
ordinaria trata con el conjunto de los números reales.
Siempre que: x*(y
. z) = (x*y) . (x*z)
